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実対称行列の固有値は実数であることの証明

2010-06-10 (木) 0:34
未分類

授業レポートのメモです。

$\inline A$ を $\inline n$ 次の実対称行列であるとし、 $\inline \lambda$ をそれぞれ $\inline A$ の固有値の一つとし、 $\inline \boldsymbol{x}$ をそれに対応する固有ベクトルであるとする。このとき

$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$

(1)

である。両辺の複素共役をとると $\inline \overline{A}=A$ であるから

$A \overline{\boldsymbol{x}}=\overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}}$

さらに、両辺の転置をとると $\inline A^\mathrm{T}=A$ であるから

$(A\overline{\boldsymbol{x}} )^{\mathrm{T}}= \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}$
$\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A = \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}$

この式の両辺に右から $\inline \boldsymbol{x}$ をかけると

$\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}= \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$

(2)

である。一方で、(1)式の両辺に左から $\inline \overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}$ をかけると

$\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}= \lambda\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$

(3)

(2)式と(3)式の右辺を比較すると、
$\lambda=\overline{\lambda}$
でなければならない。すなわち $\inline \lambda$ は実数である。

これはこの行列の任意の固有値 $\inline \lambda$ について言える。
[証明終]

さらに $\inline A$ の固有値 $\inline \lambda _i$ , $\inline \lambda _j$ に対する固有ベクトルを $\inline \boldsymbol{x}_i$ , $\inline \boldsymbol{x}_j$ とすると

$A\boldsymbol{x}_i=\lambda _i \boldsymbol{x}_i$

(4)

$A\boldsymbol{x}_j=\lambda _j \boldsymbol{x}_j$

(5)

(4)の両辺に $\inline \boldsymbol{x}_j$ との内積をとり、(5)の両辺に $\inline \boldsymbol{x}_i$ との内積をとると、

$A\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j=\lambda _i \boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j$

(6)

$A\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i=\lambda _j \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i$

(7)

ここで、実対称行列の性質から
$A\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j = A\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i$
であるから、(6)式から(7)式を引くと

$0 = (\lambda _i- \lambda _j) \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i$

ここで、2つの固有値が相違なるものであるなら、 $\inline \lambda _i \neq \lambda _j$ であり
$\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i = 0$
である。これは $\inline A$ において、任意の異なる2つの固有値の組みについて言える。

よって、 $\inline A$ の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。
[証明終]

参考文献:
Matrix Eigenvalue Theory

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