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実対称行列の固有値は実数であることの証明

2010-06-10 (木)
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授業レポートのメモです。

$\inline A$ を $\inline n$ 次の実対称行列であるとし、 $\inline \lambda$ をそれぞれ $\inline A$ の固有値の一つとし、 $\inline \boldsymbol{x}$ をそれに対応する固有ベクトルであるとする。このとき

$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$

(1)

である。両辺の複素共役をとると $\inline \overline{A}=A$ であるから

$A \overline{\boldsymbol{x}}=\overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}}$

さらに、両辺の転置をとると $\inline A^\mathrm{T}=A$ であるから

$(A\overline{\boldsymbol{x}} )^{\mathrm{T}}= \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}$
$\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A = \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}$

この式の両辺に右から $\inline \boldsymbol{x}$ をかけると

$\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}= \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$

(2)

である。一方で、(1)式の両辺に左から $\inline \overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}$ をかけると

$\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}= \lambda\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$

(3)

(2)式と(3)式の右辺を比較すると、
$\lambda=\overline{\lambda}$
でなければならない。すなわち $\inline \lambda$ は実数である。

これはこの行列の任意の固有値 $\inline \lambda$ について言える。
[証明終]

さらに $\inline A$ の固有値 $\inline \lambda _i$ , $\inline \lambda _j$ に対する固有ベクトルを $\inline \boldsymbol{x}_i$ , $\inline \boldsymbol{x}_j$ とすると

$A\boldsymbol{x}_i=\lambda _i \boldsymbol{x}_i$

(4)

$A\boldsymbol{x}_j=\lambda _j \boldsymbol{x}_j$

(5)

(4)の両辺に $\inline \boldsymbol{x}_j$ との内積をとり、(5)の両辺に $\inline \boldsymbol{x}_i$ との内積をとると、

$A\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j=\lambda _i \boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j$

(6)

$A\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i=\lambda _j \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i$

(7)

ここで、実対称行列の性質から
$A\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j = A\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i$
であるから、(6)式から(7)式を引くと

$0 = (\lambda _i- \lambda _j) \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i$

ここで、2つの固有値が相違なるものであるなら、 $\inline \lambda _i \neq \lambda _j$ であり
$\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i = 0$
である。これは $\inline A$ において、任意の異なる2つの固有値の組みについて言える。

よって、 $\inline A$ の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。
[証明終]

参考文献:
Matrix Eigenvalue Theory

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つくば

2010-04-05 (月)
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引越しやいろいろ手続きなども終わり落ち着きました。
春休みはいろいろしようと思ってたけど、いつの間にか3月終わってた＼(＾o＾)／

つくばは田舎だけど、のんびりしてて良いところだー。
空気も思ったよりきれいで住みやすい。

引越し作業中に携帯（2年半使ったW43S）を壊してしまった…。
1日放置してたら何故か起動するようになったけど、ずっと圏外表示に。

修理するかdocomoにかえよう。
auのAndroid機に期待してたのに…。auは完全に終わったと思う…。

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あとは引越し

2010-03-11 (木)
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なんとか卒業研究の論文も提出し、発表なども無事に終わりました。
そして、クラスの卒業旅行で温泉地に行って一泊したりしました。

あとは卒業式と引越し！
来年度から新しい場所で新しい生活。楽しみもあるけど不安…。

しばらく春休みは暇だと思うので、もっとBlog更新したい。
おわり。

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サブPCをアップデート

2010-01-07 (木)
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新年ということで、サブPCをアップデートしました。

6年前くらいにBTOで買ったPentium 4なマシン。
今となっては、YouTubeすら紙芝居になってしまう残念なスペック。

予算1万円でパーツを買い換え、流用もしつつスペックアップしました。

パーツ	旧	新	備考
CPU	Pentium 4 2.4GHz Northwood	Celeron E3200 2.4GHz	4380円で購入
M/B	Asus製型番不明 SiS651	GIGABYTE G31M-ES2L	5000円で購入
ケース	謎		流用
電源	謎の250W	Acbel 300W	余りパーツ
メモリ	DDR-333 256MB+512MB	DDR2-667 1GB×2	メインPCから取り外し
HDD	WesternDigital 60GB	Sumsung 500GB	余りパーツ
DVDドライブ	Pioneer DVR-06A		流用
FDD	詳細不明		流用
GPU	GeForce 6200	GeForce 8600GT	余りパーツ