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実対称行列の固有値は実数であることの証明

授業レポートのメモです。

\inline A\inline n次の実対称行列であるとし、\inline \lambdaをそれぞれ\inline Aの固有値の一つとし、\inline \boldsymbol{x}をそれに対応する固有ベクトルであるとする。このとき

A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x} (1)

である。両辺の複素共役をとると\inline \overline{A}=Aであるから

A \overline{\boldsymbol{x}}=\overline{\lambda}  \overline{\boldsymbol{x}}

さらに、両辺の転置をとると\inline A^\mathrm{T}=Aであるから

(A\overline{\boldsymbol{x}} )^{\mathrm{T}}=  \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}
\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A =  \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}

この式の両辺に右から\inline \boldsymbol{x}をかけると

\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}=  \overline{\lambda}\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} (2)

である。一方で、(1)式の両辺に左から\inline \overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}をかけると

\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}= \lambda\overline{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} (3)

(2)式と(3)式の右辺を比較すると、
\lambda=\overline{\lambda}
でなければならない。すなわち\inline \lambdaは実数である。

これはこの行列の任意の固有値\inline \lambdaについて言える。
[証明終]

さらに\inline Aの固有値\inline \lambda _i, \inline \lambda _jに対する固有ベクトルを\inline \boldsymbol{x}_i, \inline \boldsymbol{x}_jとすると

A\boldsymbol{x}_i=\lambda _i \boldsymbol{x}_i (4)
A\boldsymbol{x}_j=\lambda _j \boldsymbol{x}_j (5)

(4)の両辺に\inline \boldsymbol{x}_jとの内積をとり、(5)の両辺に\inline \boldsymbol{x}_iとの内積をとると、

A\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j=\lambda _i \boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j (6)
A\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i=\lambda _j \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i (7)

ここで、実対称行列の性質から
A\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j = A\boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i
であるから、(6)式から(7)式を引くと

 0 = (\lambda _i- \lambda _j) \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i

ここで、2つの固有値が相違なるものであるなら、\inline  \lambda _i \neq \lambda _j であり
 \boldsymbol{x}_j \cdot \boldsymbol{x}_i = 0
である。これは\inline Aにおいて、任意の異なる2つの固有値の組みについて言える。

よって、\inline Aの異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。
[証明終]

参考文献:
Matrix Eigenvalue Theory

つくば

引越しやいろいろ手続きなども終わり落ち着きました。
春休みはいろいろしようと思ってたけど、いつの間にか3月終わってた \(^o^)/

つくばは田舎だけど、のんびりしてて良いところだー。
空気も思ったよりきれいで住みやすい。

引越し作業中に携帯(2年半使ったW43S)を壊してしまった…。
1日放置してたら何故か起動するようになったけど、ずっと圏外表示に。

修理するかdocomoにかえよう。
auのAndroid機に期待してたのに…。auは完全に終わったと思う…。

あとは引越し

なんとか卒業研究の論文も提出し、発表なども無事に終わりました。
そして、クラスの卒業旅行で温泉地に行って一泊したりしました。

あとは卒業式と引越し!
来年度から新しい場所で新しい生活。楽しみもあるけど不安…。

しばらく春休みは暇だと思うので、もっとBlog更新したい。
おわり。

サブPCをアップデート

新年ということで、サブPCをアップデートしました。

6年前くらいにBTOで買ったPentium 4なマシン。
今となっては、YouTubeすら紙芝居になってしまう残念なスペック。

予算1万円でパーツを買い換え、流用もしつつスペックアップしました。

新サブPCのパーツ

パーツ 備考
CPU Pentium 4 2.4GHz Northwood Celeron E3200 2.4GHz 4380円で購入
M/B Asus製型番不明 SiS651 GIGABYTE G31M-ES2L 5000円で購入
ケース 流用
電源 謎の250W Acbel 300W 余りパーツ
メモリ DDR-333 256MB+512MB DDR2-667 1GB×2 メインPCから取り外し
HDD WesternDigital 60GB Sumsung 500GB 余りパーツ
DVDドライブ Pioneer DVR-06A 流用
FDD 詳細不明 流用
GPU GeForce 6200 GeForce 8600GT 余りパーツ

今のCeleronって凄いですよ。
4000円弱の廉価CPUですが、中身はCore2 Duoとほぼ同じです。

普通に使ってると、Core2 Duo E6750(メインPC)と体感は変わらない!
入れてるソフト少ない分、メインPCより快適だったりする…。

やっとサブPCでも、HD動画やゲームできるようになった!
PC組むならCeleronオススメですよ。

2010年明けましておめでとうございます

2010年、明けましておめでとうございます。
本年も natury をよろしくお願いいたします。

Avatar 見てきた

映画 Avatar の3D吹き替え版を見てきました。
いつも洋画は字幕で見てますが、3Dだと吹き替えのほうが見入りやすいらしいので。

文句なしに個人的には今年No1です!
ストーリーが面白いのはもちろんですが、
やはり美しい映像に3Dというのが大きなポイント。

これは絶対見に行くべき!

本編始まる前に、別の映画の3Dの予告編が出たときに、劇場から歓声が上がりました。
これからの映画は3Dの時代だと思いました。

USJとかでよくある映像が飛び出る3Dというよりも、スクリーンの奧に世界が広がってるという感じです。
この3D映画を一度体験してしまうと、他のどんな平面なグラフィックを見ても、これほどの感動はないかも…。

見に行くときは、もちろん3D対応の映画館で見て下さいね。

ITリーダー育成キャンプ

某ITリーダー育成キャンプに参加させてもらいました。
24日からの3日間、休む暇無くハードな講義の連続で疲れました。

疲れたけどその分、今までのどんな講義よりも、ためになったと思います。
人生が変わるくらい自分にとって衝撃的でした。

素晴らしい仲間とも出会えたし、参加してほんとに良かった。
これほど気が合って、話が通じるなんて…!

もし関係者の人が見てたら、この3日間ほんとにありがとうございました。

キャンプは26日午前までで終わりだったけど、27日まで東京にとどまって友達と靖國神社参拝したり、秋葉原を散策したりしました。
何度行っても、人の多さは凄まじいと思う。
買った物は

  • 例の無線LANアダプタ 3980円
  • ネコ耳イヤホン 1480円

ついうっかり、変な物(ネコ耳)を買ってしまった。
まさか通学に使ったりはしない。

この4日間は、長かったようであっという間でした。
やっぱり地元が一番落ち着く!

twitter始めたよ

最近流行ってるので、情報収集にも便利?
そのまま natury って名前です。

そういえば、後期中間試験、金曜日で終わりました。
下級生は火曜日まであるそうです…。
7科目(必修2科目)しかなかったので楽でした。
月曜日のテストの科目は取ってないので3連休でした。

土日に出かけたりしましたが、その話はまた後日。

やっと数式

やったー
LaTeXで数式を表示できるようになった。
LaTeX for WordPressというプラグインを使いました。
インラインも\inline x\to \infty対応してる。\inline \mathrm{\LaTeX}って素晴らしい…

e^{i\pi}+1=0

\int _{-\infty} ^{\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}

\oint_S \varepsilon \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = q_{\mathrm{enc}}

これだけ綺麗に数式が表示されるとやる気が出てくるよね!

WordPress2.8.4に更新

放置してた間に2.8.4が出ていたのでアップデートしました。

といっても自動アップデートボタンで一瞬。
世の中進んだね…

XreaはPHPがセーフモードなので自動アップデートできないと思ってたら、
セーフモードによる制限と対処方法
を見て対処したらできた。

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